谢邀，偶是立志从教的HR。
从常规理解来看，劳资双方都各有过错。
劳动者过错：简历造假；公司方过错：1、没有签订劳动; 2、未缴纳社保。那么，在劳资双方都有过错的情况下，法律又会否支持劳动者申请仲裁呢？
一、劳动者简历“造假”的，用人单位可主张劳动合同自始失效。
根据《劳动合同法》第26条第1款规定，“下列劳动合同无效或者部分无效：（一）以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的；……”。故而，如用人单位与题主已签订劳动合同，可以劳动者提高不实履历为由，主张已签订的劳动合同自始无效。
关于简历“造假”，在司法实践中一直存在着两种截然相反的观点：
1、劳动者的简历（特别是学历和履历）对用人单位选才具有重要参考价值，但劳动者入职以后，用人单位可以更为全面、系统地对劳动者的工作能力进行评价。既然题主已经顺利通过试用期，说明他的工作能力是被认可的，也是不影响其工作的开展的。
2、用人单位可以劳动者提供虚假学历或履历为由主张合同无效。（题主这里没有明确说是说明信息造假，但通常学历或履历造假较多。）
但是，题主所在的这家公司，自始至终也未签订劳动合同，也就不存在劳动合同无效或失效一说了。
二、未订立书面劳动合同——用人单位应自次月起支付双倍工资
根据《劳动合同法》第八十二条 的规定——“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
三、未缴纳社保——先要求补缴，不予补缴的可离职要求经济补偿金
在实务中，有的用人单位为了规避不缴纳社保可能带来的法律风险，会要求劳动者填写一份《自愿不缴纳社保的申请书》；也存在劳动者为了提高到手收入，而主动要求不缴纳社保的；更有甚者，劳动者可以选择缴纳或者不缴纳社保，当然这会影响劳动者的到手收入高低。
以偶所在的广东省为例，仅以社保为由是不支持劳动者仲裁的，劳动者可以先去社保部门举报，要求单位办理社保补缴手续；如果单位在合理期限内仍未予办理的，劳动者可以辞职并要求单位支付经济补偿金。
如果偶是题主，偶不会纠结，直接就离职走人了。鉴于案情复杂，申请仲裁的过程会遇到很多的周折和困难，且题主的工龄并不长，所以即使最后能够拿到经济赔偿金，数额不大，还需要大费周折，付出很多的时间和精力。并不值得！
希望能够帮助到你！偶是立志从教的HR。
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