符号和公理系统可以看作是「发明」的，但里面的逻辑和本质都是被「发现」的。
且不论古代数学如何（事实上也不完善），至少现代数学的结构是先制定一套公理，然后根据这套公理通过完全符合逻辑的方式，推导出一系列定理，最终推出最重要的一条或几条结论（如五次以上代数方程根式不可解），或者创建出一套数学体系（如非欧几何）。从这个角度来说，公理就是人们「发明」的，但是从公理开始的推导，全都是自然而然的，没有任何「人为」的因素（比如说偶说它等于2它就等于2，或者上帝说它是圆的它就是圆的之类）。故这种推导，更接近于对自然规律的「发现」。
现在问题来了，这套所谓的「公理系统」，也不是随便定义的。不好的公理系统，根本推不出什么有意义的结论。（偶随便举个例子吧，定义「AAA」是一个空集或者包含10个「AAA」的集合，这样除了「十叉树」的结论以外也推不出什么，比起二叉树还没发现有什么更优良更美妙的性质）很多情况下，公理是根据大家需要的结论量身定制的。从这个角度来看，公理系统是否又是另一种意义上的「发现」呢？
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