比如，f(z)=1/[z·(z-1)²]
求：1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]
1.把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)
展开式的C(-1)=1
所以，res[f(z),0]=1
2.把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]
=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]
展开式的C(-1)=-1
所以，res[f(z),1]=-1
留数定理是柯西积分定理和柯西积分公式的推广：
在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。大家把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。
由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。
复分析把分析学方法从实变数推广到复变数。复数最初从代数方程可以存在普遍解中产生。它们采用a+bi的形式, 式中a和b是实数。a称为这个复数的实数部分,b是复数的虚数部分,i为根号-1,是虚数单位